Степень числа: определения, обозначение, примеры. Степень с действительным показателем Сравнение степеней с действительным показателем
Тема урока: Степень с действительным показателем.
Задачи:
- Образовательные
:
- обобщить понятие степени;
- отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
- закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
- выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
- Развивающие
:
- интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
- развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
- активизировать самостоятельную деятельность;
- развивать познавательный интерес.
- Воспитательные
:
- воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
- эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.
Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем.
Учащиеся должны уметь:
- определять имеет ли смысл выражение со степенью;
- использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
- решать примеры, содержащие степень;
- сравнивать, находить сходства и отличия.
Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.
Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.
Тип урока: урок исследовательской и практической работы.
ХОД УРОКА
Организационный момент
«Однажды царь решил выбрать из своих
придворных первого помощника. Он подвёл всех к
огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет
первым помощником». Никто даже не притронулся к
замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок,
который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность,
потому что полагаешься не только на то, что
видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы
и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы
прийти к правильному решению.
1. С каким математическим понятием связаны слова:
Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное
число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с
действительным показателем)
2.
Какая наша стратегическая
цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока
?
– Обобщить понятие степени.
Задачи:
– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при
вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.
3.
Итак, а р, где р – число
действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , 43, ) степени
– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем
4. При каких значениях а имеет смысл выражение
аn, где n (а
– любое)
аm, где m (а 0) Как от степени с
отрицательным показателем перейти к степени с
положительным показателем?
, где (а0)
5.
Из данных выражений выберете те,
которые смысла не имеют:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6.
Вычислите. Ответы в каждом столбике
обладают одним общим свойством. Укажите лишний
ответ (этим свойством не обладающий)
2
=
=
=
6
= (неправ.
др.)
= (нельзя записать дес. др.)
= (дробь)
= =
7. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?
Установите соответствие:
Один ученик записывает формулы (свойства) в общем виде.
8. Дополнить степени из п.3 так, чтобы к полученному примеру можно было применить свойства степени.
(Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Для проверки обменяться тетрадями, а ещё один выполняет действия на доске)
9. На доске (работает ученик):
Вычислите : =
Самостоятельно (с проверкой на листах)
Какой из ответов не может получиться в части «В» на ЕГЭ? Если в ответе получилось , то как записать такой ответ в части «В»?
10. Самостоятельное выполнение задания (с проверкой у доски – несколько человек)
Задание с выбором ответа
| 1 |  |
||||
| 2 | : | ||||
| 3 | 0,3  |
||||
| 4 |  |
11. Задание с кратким ответом (решение у доски):
+ + (60)5 2 – 3–4 27 =
Самостоятельно с проверкой на скрытой доске:
– – 322– 4 + (30)4 4 =
12 . Сократите дробь (на доске):
В это время один человек решает на доске самостоятельно: = (класс проверяет)
13. Самостоятельное решение (на проверку)
На отметку «3»: Тест с выбором ответа:
1. Укажите выражение, равное степени
| 1. | 2. | 3. | 4. |
2. Представьте в виде степени произведение: – Спасибо за урок!
После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.
Навигация по странице.
Свойства степеней с натуральными показателями
По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :
- основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение ;
- свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
- свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение ;
- свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
- возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
- сравнение степени с нулем:
- если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
- если a=0 , то a n =0 ;
- если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- если a
и b
– положительные числа и a
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .
Теперь рассмотрим каждое из них подробно.
Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .
Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n
можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как 
, а это произведение есть степень числа a
с натуральным показателем m+n
, то есть, a m+n
. На этом доказательство завершено.
Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень , имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.
Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .
Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .
Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0
необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0
, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n
вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n
показатель степени a m−n
является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n
), либо отрицательным числом (что происходит при m Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m
. Из полученного равенства a m−n ·a n =a m
и из следует, что a m−n
является частным степеней a m
и a n
. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π
и натуральными показателями 5
и 2
, рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3
. Теперь рассмотрим свойство степени произведения
: натуральная степень n
произведения двух любых действительных чисел a
и b
равна произведению степеней a n
и b n
, то есть, (a·b) n =a n ·b n
. Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем Приведем пример: Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n
произведения k
множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n
. Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7
имеем . Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
: частное действительных чисел a
и b
, b≠0
в натуральной степени n
равно частному степеней a n
и b n
, то есть, (a:b) n =a n:b n
. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n
, а из равенства (a:b) n ·b n =a n
следует, что (a:b) n
является частным от деления a n
на b n
. Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
: для любого действительного числа a
и любых натуральных чисел m
и n
степень a m
в степени n
равна степени числа a
с показателем m·n
, то есть, (a m) n =a m·n
. Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6
. Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p
, q
, r
и s
справедливо равенство Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем. Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем. Для начала обоснуем, что a n >0
при любом a>0
. Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a
с натуральным показателем n
по определению является произведением n
множителей, каждый из которых равен a
. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a
степень a n
есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0
, (0,00201) 2 >0
и Достаточно очевидно, что для любого натурального n
при a=0
степень a n
есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0
. К примеру, 0 3 =0
и 0 762 =0
. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m
, где m
- натуральное. Тогда Наконец, когда основание степени a
является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1
, то Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n
меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его. Неравенство a n свойств неравенств
справедливо и доказываемое неравенство вида a n (2,2) 7
и Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n
и 0 Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n
и a>1
справедливо a m >a n
. Разность a m −a n
после вынесения a n
за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1)
. Это произведение положительно, так как при a>1
степень a n
есть положительное число, и разность a m−n −1
есть положительное число, так как m−n>0
в силу начального условия, и при a>1
степень a m−n
больше единицы. Следовательно, a m −a n >0
и a m >a n
, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2
.
. Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как 
, что равно a n ·b n
.
.
.
.
. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. По каждое из произведений вида a·a
равно произведению модулей чисел a
и a
, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение 
и степень a 2·m
. Приведем примеры: (−6) 4 >0
, (−2,2) 12 >0
и .
. Все произведения a·a
являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a
дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 <0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Свойства степеней с целыми показателями
Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.
Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.
Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем ab −n ;
- если m
и n
– целые числа, причем m>n
, то при 0
При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.
Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.
Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .
Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q
. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда 
. По свойству частного в степени имеем 
. Так как 1 p =1·1·…·1=1
и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q)
, которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q
.
Аналогично 
.
И 
.
По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.
В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Так как по условию a0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.
Свойства степеней с рациональными показателями
Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:
Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.
По определению степени с дробным показателем и , тогда 
. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем 
, а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.
Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:
По схожим принципам доказываются и остальные равенства:
Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a
Аналогично, при m<0 имеем a m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .
Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p
и q
, p>q при 0
и 
. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q
и 0
Свойства степеней с иррациональными показателями
Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p b p ;
- для иррациональных чисел p
и q
, p>q
при 0
Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Тема урока: Степень с рациональным и действительным показателями.
Цели:
обобщить понятие степени;
отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
активизировать самостоятельную деятельность;
развивать познавательный интерес.
воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.
Образовательные :
Развивающие :
Воспитательные :
Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем
Учащиеся должны уметь:
определять имеет ли смысл выражение со степенью;
использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
решать примеры, содержащие степень;
сравнивать, находить сходства и отличия.
Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.
Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.
Педагогические технологии : проблемное обучение, обучение в сотрудничестве, личностно - ориентированное обучение, коммуникативное.
Тип урока: урок исследовательской и практической работы.
Наглядность к уроку и раздаточный материал:
презентация
формулы и таблицы (приложение 1,2)
задание для самостоятельной работы (приложение 3)
План урока
№Этап урока
Цель этапа
Время,мин.
Начало урока
Сообщение темы урока, постановка целей урока.
1-2 мин
Устная работа
Повторить формулы степеней.
Свойства степеней.
4-5 мин.
Фронтальное решение у
доски из учебника №57(1,3,5)
№58(1,3,5) с подробным следованием плану решения.
Формирование умений и навыков
у учащихся применять свойства
степеней при нахождениях значений выражения.
8-10 мин.
Работа в микрогруппах.
Выявление пробелов в знаниях
учащихся, создание условий для
индивидуального развития ученика
на уроке.
15-20 мин.
Подведение итогов работы.
Отследить успешность работы
Учащихся при самостоятельном решении задач по теме, выяснить
характер затруднений, их причины,
указать коллективно пути решения.
5-6 мин.
Домашнее задание
Познакомить учащихся с заданием на дом. Дать необходимые пояснения.
1-2 мин.
ХОД УРОКА
Организационный момент
Здравствуйте ребята! Запишите в тетрадях число, тема урока.
Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за свое изобретение попросил у раджи немного риса: на первую клетку доски он попросил положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью- ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки.
Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Число зёрн, которые нужно было передать изобретателю шахмат в награду, выражается суммой
1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .
Эта сумма равна огромному числу
18446744073709551615
И она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая мировой океан.
Степени используют при записи чисел и выражений, что делает их более компактными и удобными для выполнения действий.
Часто степени употребляются при измерении физических величин, которые могут быть «очень большими» и «очень маленькими».
Масса Земли 6000000000000000000000т записывают в виде произведения 6.10 21 т
Диаметр молекулы воды 0,0000000003м записывают в виде произведения
3.10 -10 м.
1. С каким математическим понятием связаны слова:
Основание
Показатель
(Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число
(Действительное число)
Сформулируйте тему урока.
(Степень с действительным показателем)
2. Итак а x ,где х- действительное число. Выберите из выражений
С натуральным показателем
С целым показателем
С рациональным показателем
С иррациональным показателем
3.
Какая наша цель?
(ЕГЭ)
Какие
цели нашего урока
?
– Обобщить понятие степени.
Задачи:
– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков
4 . Степень с рациональным показателем
Основаниестепени
Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n
r = n
r = - n
r = 0
r = 0
r =0
a n = a . a . … . a
a -n =
a 0 =1
a n =a.a. … .a
a -n =
Не существует
Не существует
a 0 =1
а=0
0 n =0
Не существует
Не существует
Не существует
5 . Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:
6 . Определение
Если число r - натуральное, то а r есть произведение r чисел, каждое из которых равно а:
a r = a . a . … . a
Если число r - дробное и положительное, то есть, где m и n - натуральные
числа, то
Если показатель r является рациональным и отрицательным, то выражение a r
определяется как величина, обратная к a - r
или
Если
7 . Например
8 . Степени положительных чисел обладают следующими основными свойствами:
9 . Вычислить
10. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?
Установите соответствие:
А)При умножении степеней с равными основаниями1)Основания умножаются, а показатель остаётся прежним
Б)При делении степеней с равными основаниями
2)Основания делятся, а показатель остаётся прежним
В)При возведении степени в степень
3)Основание остаётся прежним, а показатели умножаются
Г)При умножении степеней с равными показателями
4)Основание остаётся прежним, а показатели вычитаются
Д)При делении степеней с равными показателями
5)Основание остаётся прежним, а показатели складываются
11 . Из учебника (у доски)
Для решения в классе:
№57 (1,3,5)
№58 (1, 3, 5)
№59 (1, 3)
№60 (1,3)
12 . По материалам ЕГЭ
(самостоятельная работа) на листочках
XIV века.
Ответ: Орезма. 13. Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями:14. Домашнее задание
§ 5 (знать определения, формулы)
№57 (2, 4, 6)
№58 (2,4)
№59 (2,4)
№60 (2,4) .
В заключение урока:
«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»
– Так сказал великий русский математик Михаил Ломоносов.
– Спасибо за урок!
Приложение 1
1.Степени. Основные свойства
Показателем
a 1 =a
a n =a.a. … .a
a R n
3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,
(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8
Степень с целым показателем
a 0 =1,
где a
0 0 -не определено.
Степень с рациональным
Показателем
где a
m n
Степень с иррациональным показателем
Ответ: ==25,9...
1. a x . a y =a x+y
2.a x : a y = = a x-y
3. .(a x ) y =a x.y
4.(a.b) n =a n .b n
5. (=
6. (
Приложение 2
2. Степень с рациональным показателем
Основаниестепени
Степень с показателем r , основанием а ( n N , m n
r = n
r = - n
r = 0
r = 0
r =0
a n = a . a . … . a
a -n =
a 0 =1
a n =a.a. … .a
a -n =
Не существует
Не существует
a 0 =1
а=0
0 n =0
Не существует
Не существует
Не существует
Приложение 3
3. Самостоятельная работа
Впервые действия над степенями использовал французский математик XIV века.
Расшифруйте фамилию французского ученого.
Самостоятельная работа студента 1 курс по теме Степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем (6 часов)
Изучить теоретический материал и сделать конспект (2 часа)
Разгадать кроссворд (2 часа)
Выполнить домашнюю контрольную работу (2 часа)
Справочный и дидактический материал представлен ниже
О понятии степени с рациональным показателем
Некоторые наиболее часто встречающиеся
Виды трансцендентных функций, прежде
Всего показательные, открывают доступ ко
Многим исследованиям.
Л. Э й л е р
Из практики решения-все более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел.
Равенство а 0 = 1 (для ) применял в своих трудах в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. Независимо от него нулевой показатель был введен Н. Шюке в XV в. Последний ввел и отрицательные показатели степени. Идея дробных показателей содержится у французского математика Н. Орема (XIV в.) в его
труде
«Алгоризм пропорций». Вместо нашего
знака
он писал ,
вместо
он писал
4. Орем словесно формулирует правила
действий со степенями, например (в
современной записи): ,
и т.п.
Позже дробные, как и отрицательные, показатели встречаются в «Полной арифметике» (1544) немецкого математика М. Штифеля и у С. Стевина. Последний пишет о том, что корень степени п из числа а можно считать как степень а с дробным показателем .
О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г, английский математик Джон Валлис. Его дело завершил И. Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.
Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщения понятия математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробным показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применимы те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т. е. чтобы сохранились основные свойства первоначально определенного понятия степени, а именно:
Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, т. е. смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения, постоянства). В несовершенной форме его высказал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г. Ганкель в 1867 г. Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятии числа и расширении его до понятия действительного числа, а до этого - при введении понятия умножения на дробь и т. п.
Степенная функция и графическое решение уравнений и неравенств
Благодаря открытию метода координат и аналитической геометрии начинай с XVII в. стало возможным общеприменимое графическое исследование функций и графическое решение уравнений.
Степенной функцией называют функцию вида
где α- постоянное вещественное число. Вначале мы ограничимся, однако, лишь рациональными значениями α и вместо равенства (1) запишем:
где - рациональное число. Для и по определению соответственно имеем:
у =1, у =х.
Графиком первой из этих функций на плоскости является прямая, параллельная оси Ох, а второй - биссектриса 1-го и 3-го координатных углов.
При графиком функций является парабола . Декарт, который первое неизвестное обозначал через z , второе - через у, третье - через x :, записывал уравнение параболы так: (z - абсцисса). Параболой он часто пользовался для решения уравнений. Чтобы решить, например, уравнение 4-й степени
Декарт с помощью подстановки
получил квадратное уравнение с двумя неизвестными:
изображающее окружность, расположенную в одной плоскости (z х) с параболой (4). Таким образом, Декарт, вводя вторую неизвестную (х), разбивает уравнение (3) на два уравнения (4) и (5), каждое из которых представляет определенное геометрическое место точек. Ординаты точек их пересечения и дают корни уравнения (3).
«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.
1. С каким математическим понятием связаны слова:
Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)
– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.
Итак, а р, где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , , 43, ) степени
– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем
При каких значениях а имеет смысл выражение
а n , где n (а – любое)
а m , где m (а не равно 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?
Где p , q (а > 0)
Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?
Установите соответствие:
|
При умножении степеней с равными основаниями |
Основания умножаются, а показатель остаётся прежним |
|
При делении степеней с равными основаниями |
Основания делятся, а показатель остаётся прежним |
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
Запомните!
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
- Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17 - Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Важно!
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя
заменять сумму
(3 3 + 3 2)
на 3 5
. Это понятно, если
посчитать
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36
, а
3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
Запомните!
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Ответ: t = 3 4 = 81Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
- Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Важно!
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Будьте внимательны!
Свойство № 3
Возведение степени в степеньЗапомните!
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.
Свойства 4
Степень произведенияЗапомните!
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
(a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.
- Пример 1.
(6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2 - Пример 2.
(−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6
Важно!
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) nТо есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
- Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4Свойства 5
Степень частного (дроби)Запомните!
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.
- Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
- Пример 1.
